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扑克牌游戏与机率(一)

一副公正的扑克牌(Poker)共有四种花色(黑桃、红心、方块与梅花),各种花色包含\(13\)种数字(\(2\)、\(3\)、\(\cdots\)、\(10\)、\(J\)、\(Q\)、\(K\)、\(A\))各一张,总共\(52\)张,有时会再加上\(2\)张鬼牌。而扑克牌相关游戏种类相当多,其中,一种常见的游戏方式是每人发五张牌,依据牌面花色与点数所形成的牌型来决定胜负(即一般人口中所谓的梭哈)。多年前,赌神、赌侠、赌圣系列等多部脍炙人口的电影,当中藉以比赛的扑克牌游戏皆为此类。

游戏当中,各类牌型的胜负比较如下:同花顺 > 铁只 > 葫芦 > 同花 > 顺 > 三条 > 两对 > 一对 > 其它(乱牌)。当然在同一牌型之下,必需依据相对应的数字大小来作比较。数字由大至小依序为:\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\);而在某些组合中 \(A\) 也可被视为 \(1\)。也由于各类牌型的机率计算上,仅需要古典机率与组合的概念即可,因此,无论是当年的联考或者高中机率单元的补充教材里,皆可看见此游戏的蹤迹。

你也许会好奇,为什幺这些牌型大小需如此规定呢?问题的答案与机率有关。首先,从 \(52\) 张牌中取 \(5\) 张牌的所有可能性共有 \(C_5^{52}\) 种。以下,我们便对各类牌型的组合数与机率作一简单讨论与说明。在本文中,将先讨论前五种牌型,而〈扑克牌游戏与机率(二)〉中继续讨论另外四种牌型,并作进一步综合讨论。届时读者不难了解游戏设计者如此规定的原因。

1. 同花顺(straight flush

所谓的同花顺指的是 \(5\) 张牌的花色相同,且数字连号,其中由大到小包含了 \(AKQJ10\)、\(KQJ109\)、\(QJ1098\)、\(\cdots\)、\(65432\)、\(5432A\) 共 \(10\) 种可能的连号(顺)。加上共有四种花色,因此,所有的同花顺共有 \(40\) 种。

因此,出现同花顺的机率便是:\(\displaystyle \frac{40}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.000015\)。

另外,四种花色最大的同花顺 \(AKQJ10\) 又被称为同花大顺(royal flush),它的组合数仅为 \(4\),拿到同花大顺的机率更是只有 \(\displaystyle\frac{4}{C_5^{52}}\),约为 \(0.0000015\),即千万分之十五,此值大约是一张统一发票得二奖四万元的机率的 \(5\) 倍,是得三奖一万元的机率的一半。

2. 铁支(four of a kind

所谓的铁支指的是 \(5\) 张牌当中,有四张数字相同。

例如:\(AAAAK\)、\(99992\)、\(77778\) 等皆是,亦即其牌型为 \(aaaab\)。

我们可以利用下述方式来计算其组合数:先从 \(13\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(a\):\(C_1^{13}\),

再从其它 \(12\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(b\):\(C_1^{12}\)。

接着,\(4\) 种花色的数字 \(a\) 全选:\(C_4^{4}\),并从 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选一张:\(C_1^{4}\)。

如此,利用乘法原理可计算出所有的铁支共有:\(C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}=624\) 种。

因此,其出现的机率为:\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.00024\)。

3. 葫芦(full house

所谓的葫芦(有时亦译作富而豪斯)指的是 \(5\) 张牌当中,有三张数字相同,另两张也相同。

例如:\(AAAKK\)、\(99922\)、\(77788\) 等皆是,亦即其牌型为 \(aaabb\)。

我们可以利用下述方式来计算其组合数:先从 \(13\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(a\):\(C_1^{13}\),

再从其它 \(12\) 个数字中选出 \(1\) 个作为 \(b\):\(C_1^{12}\)。

接着,从 \(4\) 种花色的数字 \(a\) 恰选三张:\(C_3^{4}\),并从 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选二张:\(C_2^{4}\)。

如此,利用乘法原理可计算出所有的葫芦共有:\(C_1^{13}C_1^{12}C_3^{4}C_2^{4} = 3,744\) 种。

因此,其出现的机率:\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_1^{12}C_3^{4}C_2^{4}}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.00144\)。

4. 同花(flush

所谓的同花指的是 \(5\) 张牌的花色相同,但需扣除前述 \(40\) 种同花顺的情况。

例如五张同为梅花的 \(A9652\) 或者五张同为爱心的 \(KJ754\) 等皆是。

我们可以利用下述的方式计算其组合数:先从四种花色中选出一种:\(C_1^{4}\),

接着,从该花色的 \(13\) 个数字中任选 \(5\) 个 \(C_5^{13}\),且计算时必需扣掉 \(40\) 种同花顺,

如此可计算出所有的同花共有:\(C_1^{4}C_5^{13}-40=5,108\) 种。

其出现的机率为:\(\displaystyle\frac{(C_1^{4}C_5^{13}-40)}{C_5^{52}}\)。

此值约为 \(0.00197\),略高于前述出现葫芦的机率。

5. 顺(straight

所谓的顺指的是 \(5\) 张牌需连号,但花色不全相同(意即需扣除前述 \(40\) 种同花顺的情况)。

例如不同花色的 \(AKQJ10\)、\(KQJ109\)、\(Q10987\)、\(\cdots\)、\(65432\)、\(5432A\) 等皆是。

我们可以利用下述的方式计算其组合数:上述共有 \(10\) 种连号,

接着考虑连号当中的 \(5\)个数字 \(abcde\),从 \(4\) 种花色的数字 \(a\) 恰选一张:\(C_1^{4}\);

从 \(4\) 种花色的数字 \(b\) 恰选一张:\(C_1^{4}\);\(\cdots\);从 \(4\) 种花色的数字 \(e\) 恰选一张:\(C_1^{4}\)。

如此,可计算出所有的顺有 \(10C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}-40=10,200\) 种。

因此,其出现的机率为:\(\displaystyle\frac{(10C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}-40)}{C_5^{52}}\)。此值约为 \(0.00392\)。

以上,便是前五种牌型的组合数与出现的机率。玩扑克牌还兼学数学,是不是很有趣呢?

连结:扑克牌游戏与机率(二)